Denis Lorrain

Construction 042

Due cose, mille cose

Composition algorithmique pour piano MIDI

(2013, durée totale : *ca.* 21 mins)

Note de programme

   Cette Construction comporte trois mouvements — deux de 8 minutes et un troisième de 4'30". Elle repose essentiellement sur deux matériaux : la suite de Prouhet-Thue-Morse et un théorème de Erdös et Szekeres.

   La suite de Prouhet-Thue-Morse [1] est une structure fractale qualifiée d'ubiquitaire par certains auteurs. Elle se compose de deux symboles — disons A et B — enchaînés à partir de l'un d'entre eux en appliquant de façon récursive, à l'infini, deux règles de production très simples :

      1) A engendre A B

      2) B engendre B A

La suite obtenue est "un exemple remarquable de la rencontre de propriétés presque contradictoires dans un même objet mathématique : une totale simplicité et une grande complexité" [2]. Concrètement, j'exploite cette suite en faisant correspondre A et B à deux hauteurs, par exemple, ou à deux durées, deux intensités, etc.

   Le théorème des sous-suites monotones de Erdös-Szekeres [3] s'énonce ainsi : de toute suite de n²+1 nombres différents, on peut extraire une sous-suite croissante de longueur n+1 ou une sous-suite décroissante de longueur n+1. Ce théorème démontre qu'il réside toujours une certaine part d'ordre en tout, même dans un phénomène aléatoire. J'applique ce paradoxe dans le domaine des hauteurs : parmi une suite de n²+1 différentes hauteurs aléatoires, les n+1 qui constituent une sous-suite monotone sont marquées — par exemple par des intensités et/ou des durées contrastantes. J'utilise des valeurs de n limitées de 2 à 5. La source aléatoire est tout simplement rectangulaire uniforme, avec un contrôle heuristique éliminant les répétitions indues de nombres identiques. Les sous-suites sont extraites au moyen d'un langage de filtrage dynamique que j'ai développé.

   Un troisième matériau apparaît épisodiquement dans la pièce. Il s'agit de traits mélismatiques rapides, inspirés de la croissance végétale de lianes, simulée au moyen d'un processus fractal distordu par un certain degré d'aléatoire [4].

   La Construction proprement dite est élaborée librement avec ces matériaux : des éléments musicaux concrets sont réalisés, des inter-relations sont créées, des agencements sont organisés, des formes sont déployées à divers niveaux...

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[1] Cette suite est surtout connue sous le nom de Thue-Morse. Elle fut redécouverte à plusieurs reprises dans différents contextes. Les travaux les plus fameux sont de Eugène Prouhet (1817-1867) en 1851, Axel Thue (1863-1922) en 1906, et Marston Morse (1892-1977) en 1921.

[2] Delahaye, Jean-Paul, 2006 : "Des mots magiques infinis", Pour la science, 347 : 92. On compose traditionnellement la suite de Prouhet-Thue-Morse avec les deux symboles 0 et 1, et à partir de 0. Elle peut aussi être obtenue par d'autres moyens. Mais ces spécificités n'ont pas d'importance dans le cas présent.

[3] Le hongrois Paul Erdös (1913-1996) fut un des grands mathématiciens de son époque. Il a publié plus de mille cinq cents articles. Son ami George Szekeres (1911-2005) était aussi hongrois. Erdös, P. et Szekeres, G., 1935 : "A Combinatorial Problem in Geometry", Compositio Mathematica, 2 : 463-470.

[4] Cf. ma Construction 041 Toccata et Fugue (2012).

DLO

Karlsruhe

21/08/2013